第20章 · 播客 第2集
应用数学 · 关键路径求法与网络优化
🎙️ 本集播客：第2集：列表格求关键路径的实操口径、「最长可以并列」这个高频坑、网络优化三种的完整做法与干扰项点破、直接费用率公式的分子分母方向，最后把 25 个月工期综合题的四步筛选逐步算到 8.5 万元。 语音由微软 Edge 神经网络语音预生成（女声·晓伊，男声·云希）。点击下方任意对话可直接从该句开始播，当前句朗读时下一句已预先加载，无缝衔接。
明
阿明
上集我们把 AOE 网、Ve、Vl、e(i)、l(i)，还有「l(i) 等于 e(i)」这个关键活动判据都过了。这集先回答我：真拿到一张 AOE 网，关键路径怎么一步步找出来？
雅
小雅
原文给了口径：要求一个 AOE 网的关键路径，一般需要根据以上变量列出一张表格，逐个检查——每个活动填 e(i) 和 l(i)，看哪些相等。图 20-1 那个有 10 个活动的 AOE 网，结论是：关键活动为 a1、a2、a4、a8 和 a9，对应的关键路径有两条，V1 到 V2 到 V5 到 V7 和 V1 到 V4 到 V5 到 V7，长度都是 10。
明
阿明
关键路径居然能有两条？我一直以为一张图只认一条。
雅
小雅
关键路径是从开始顶点到结束顶点的最长路径，最长当然可以并列——两条都是 10，就都是关键路径。这件事先存着，等下压缩工期的例题里它就是杀招本体。
雅
小雅
接着往下：在得到了关键路径后，就相当于得到了项目的计算工期，得到了一个初始的计划方案；但通常还要对初始方案进行调整和完善，根据计划的要求，综合考虑进度、资源、费用等目标，即进行网络优化。三种：时间优化、时间-资源优化、时间-费用优化——后两个都带「时间-」。
明
阿明
时间优化具体怎么赶？
雅
小雅
三条路子。第一，采取技术措施，缩短工程完工时间；第二，采取组织措施，充分利用非关键活动的总时差——原文括号里给了定义，总时差等于最迟开始时间减最早开始时间——合理调配技术力量及人、财、物等资源，缩短关键活动的持续时间；第三，改变工作之间的逻辑关系，采用并行的方式缩短工期。
明
阿明
总时差等于最迟开始减最早开始，那不就是 l(i) 减 e(i)？l 等于 e 的关键活动，总时差就是零。
雅
小雅
同一件事的两种问法，考试两种都出。时间-资源优化的做法三条：优先安排关键活动所需要的资源；利用非关键活动的总时差，错开各活动的开始时间，拉平资源需要量的高峰；在确实受到资源限制，或者在考虑综合经济效益的条件下，也可以适当地推迟工程完工时间。
明
阿明
我猜坑在第三条——「推迟完工时间」听着就不像优化。
雅
小雅
恰恰不是，第三条是原文明确允许的。真正的错误选项是把第一条改成「优先安排非关键活动所需要的资源」，就多一个「非」字。道理一句话：关键活动没有时差，一卡就卡总工期，资源必须先保它；非关键活动有总时差，等得起。这类题只看资源先给谁——答案永远是关键活动。
明
阿明
优先关键、错开非关键、必要时可延期。第三种该上费用率公式了吧？
雅
小雅
先补两个概念：为完成一项工程，所需费用可分为直接费用和间接费用；项目有不可压缩的最短时间，称为极限时间，指采取一切可能的技术和组织措施后，可能达到的最短的工作时间和完成项目的最短时间。公式逐词念：直接费用变动率，简称直接费用率，等于括号，极限时间的活动直接费用，减，正常时间的活动直接费用，括号，除以括号，正常时间，减，极限时间，括号。
雅
小雅
分子是费用差、分母是时间差，分子「极限减正常」、分母「正常减极限」，方向相反才得正数，意义是每压缩一个时间单位多花多少钱。最像的干扰项把分子写成正常减极限，符号变负；还有时间差在上、费用差在下的，量纲就错。用途一句：压缩工期时优先选直接费用率最小的关键活动。
明
阿明
那道 25 个月的例题，带我整个走一遍。
雅
小雅
题面：某信息系统开发工程合同工期 25 个月，承建单位编制了网络计划图，三问。先记一个概念：图中有 2 条虚线弧，表示虚活动，即不需要任何资源，包括时间、费用等，只表示逻辑关系的活动——历时为零，只管先后顺序。
雅
小雅
第一问：能否满足合同工期？哪些工作应作重点对象？思路原文点明：利用所给出的图形找出关键路径和计算工期，从而确定重点工作。关键路径为 A 到 E 到 H 到 I 到 K，长度为 25，即计算工期 25 个月，正好等于合同工期，满足要求；A、E、H、I、K 应作为重点控制对象，因为它们是关键工作。注意「正好等于」、零余量，这是第二问的伏笔。
明
阿明
第二问：执行 7 个月后，C 和 D 已完成，E 将拖后 2 个月，影响总工期吗？
雅
小雅
判断原则两条：分析拖延工作是否在关键路径上、拖延时间是否超过工作的总时差。C、D 已完成又不在关键路径上，是干扰项，跳过。看 E：E 为关键工作，其总时差为 0，一天都拖不起，所以 E 拖延 2 个月将影响总工期 2 个月。为保证总工期不延长，调整方法有 2 种：一是改变某些工作之间的逻辑关系，二是缩短某些工作的持续时间。
明
阿明
第三问算钱：不改变逻辑关系，怎么压缩最省钱，直接费用增加多少？
雅
小雅
四步筛选。第一步定范围：要调整关键路径上的工作，即 A、E、H、I、K，压非关键活动没用。第二步砍已完成的：从第 7 个月开始，A 已经完成，只剩 E、H、I、K。第三步砍压不动的：E 是不可以压缩的，只剩 H、I、K。第四步挑最便宜的：压缩直接费用率最小的为工作 K，K 原计划 6 个月、极限时间 4 个月，可以压缩 2 个月，正好满足要求。
明
阿明
数字刚好对上，那就压 K 两个月。
雅
小雅
绝大多数人栽在这步。原文提醒：如果 K 压缩 2 个月，则会引起关键路径的变化。K 压缩 1 个月后，关键路径有 2 条：A 到 E 到 H 到 I 到 K，和 A 到 E 到 H 到 I 到 L。K 再压，含 L 的那条纹丝不动，总工期卡在它身上，钱白扔。
明
阿明
这就是开头说的「最长可以并列」在收账。第二个月从哪儿省？
雅
小雅
压两条新关键路径的公共段：把 I 压缩 1 个月，费用为 4.5 万元。综上所述，应该压缩 K、I 各 1 个月，增加费用为 4.0 加 4.5 等于 8.5 万元。口诀：每压一步都要重算关键路径；费用率最小只决定「先压谁」，不决定「压几个月」。
明
阿明
候选在关键路上、砍掉已完成、砍掉压不动、挑费用率最小、压一步看一次路径。这笔账我记住了：压 K、I 各一个月，8.5 万元。
雅
小雅
网络计划闭环了，换赛道。线性规划是研究在有限的资源条件下，如何有效地使用这些资源达到预定目标的数学方法；用数学的语言来说，也就是在一组约束条件下寻找目标函数的极值问题。目标函数 z 等于 c1 乘 x1 加 c2 乘 x2 一直加到 cn 乘 xn，求极大值或极小值。解法最常用的有图解法和单纯形法。
明
阿明
候选在关键路上、砍掉已完成、砍掉压不动、挑费用率最小、每压一步重看路径。这笔账记住了：压 K、I 各一个月，共 8.5 万元。
雅
小雅
本集必背：关键路径求法是列表格逐个检查 e(i) 和 l(i)；最长可并列，一张图可以有多条关键路径；网络优化三种是时间优化、时间-资源优化、时间-费用优化；总时差等于最迟开始时间减最早开始时间，关键活动总时差为零；直接费用率等于极限时间的活动直接费用减正常时间的活动直接费用，除以正常时间减极限时间，压缩优先选费用率最小的关键活动；25 个月例题的坑是压 K 一个月后关键路径变两条，第二刀必须落在公共段 I 上。
明
阿明
清楚了。下一集就是动笔的线性规划了？
雅
小雅
对，图解法怎么画可行域、等值线怎么推到最优点、四种解的病因配对，还有机电企业为什么只宜做年度计划——都是选择题的常客。