第20章 · 播客 第3集
应用数学 · 线性规划：图解法、解的讨论与建模条件
🎙️ 本集播客：第3集：图解法解线性规划的完整演算（约束怎么列、可行域怎么画、等值线推到 Q2 点(4,2)、z=14）、四种解的判别与病因配对、单纯形法的适用边界，以及建模三条件与机电企业的年度/月度之辨。 语音由微软 Edge 神经网络语音预生成（女声·晓伊，男声·云希）。点击下方任意对话可直接从该句开始播，当前句朗读时下一句已预先加载，无缝衔接。
雅
小雅
阿明，上一集关键路径找完了，这集全是要动笔算的。先来线性规划——一句话说清它是什么：线性规划是研究在有限的资源条件下，如何有效地使用这些资源达到预定目标的数学方法；用数学语言说，就是在一组约束条件下寻找目标函数的极值问题。
明
阿明
听着抽象。有没有原文的那个工厂例子？我跟着算一遍才有感觉。
雅
小雅
有，我们完整走一遍。题目：某工厂在计划期内要安排生产 I、II 两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及 A、B 两种原料的消耗；每生产一件产品 I 可获利 2 元，每生产一件产品 II 可获利 3 元，问应该如何安排计划使该工厂获利最多。
明
阿明
那第一步该干什么？设未知数？
雅
小雅
对，设 x1、x2 分别表示计划期内产品 I、II 的产量。然后逐条把限制翻译成不等式。设备的有效台时是 8，这是一个限制产量的条件，所以写成 x1 加 2 倍 x2 小于等于 8。同理因为原料 A、B 的限量，得到 4 倍 x1 小于等于 16，以及 4 倍 x2 小于等于 12。
明
阿明
目标函数呢？就是利润？
雅
小雅
是。用 z 表示利润，z 等于 2 倍 x1 加 3 倍 x2，要求最大值。所以完整模型是：目标函数 max z 等于 2x1 加 3x2；约束条件 x1 加 2x2 小于等于 8、4x1 小于等于 16、4x2 小于等于 12，再加上非负条件 x1、x2 大于等于 0。这四条一条都不能漏——漏了非负条件就是错的。
明
阿明
然后怎么解？图解法就是画图？
雅
小雅
对，而且每一步都有说法。在以 x1、x2 为坐标轴的直角坐标系中，非负条件 x1、x2 大于等于 0 指的是第一象限；上述每个约束条件都代表一个半平面，例如约束条件 x1 加 2x2 小于等于 8，代表以直线 x1 加 2x2 等于 8 为边界的左下方的半平面。
明
阿明
所以同时满足这几个的点，就落在它们相交的那块区域里。
雅
小雅
正是。同时满足这三个半平面和非负条件的点，必然落在相交组成的区域内；这个区域中的每一个点，包括边界点，都是该线性规划问题的解，称为可行解，整个区域就叫可行域。这两个术语的定义常单独出判断题——可行域是解的集合，而不是「最优解的集合」。
明
阿明
那怎么从一片区域里挑出最优的那个点？
雅
小雅
靠等值线。分析目标函数 z 等于 2x1 加 3x2，在坐标平面上，它可以表示成以 z 为参数、负三分之二为斜率的一族平行线；位于同一直线上的点具有相同的目标函数值，因此称为等值线。当 z 值由小变大时，直线沿其法线方向向右上方移动。
明
阿明
一直推到不能再推为止？
雅
小雅
对，当移动到 Q2 点时，使 z 值在可行域边界上实现最大化，这就得到了本题的最优解 Q2；Q2 点的坐标是括号 4、2，经过计算可以得出 z 等于 14。结论就是：该厂的最优生产计划方案是生产 4 件产品 I、2 件产品 II，可得最大利润 14 元。
明
阿明
斜率负三分之二、Q2 点是(4,2)、z 等于 14。这三个数我记住了。
雅
小雅
接下来是「关于解的讨论」，这块是纯理论考点。上面这道题的最优解是唯一的，但对一般线性规划问题而言，求解结果还可能出现三种情况：无穷多最优解也叫多重解、无界解也就是无最优解、无可行解。
明
阿明
后两种是不是说明题目本身有毛病？
雅
小雅
问得好，原文正是这么定性的：当求解结果出现后两种情况时，一般说明线性规划问题的数学模型有错误；而且给了病因——无界解源于缺乏必要的约束条件，无可行解源于矛盾的约束条件。这个「病因配对」是考点，别记反：缺约束导致无界，约束互相矛盾导致无可行解。
明
阿明
缺约束→无界，矛盾→无可行解。那最优解一定在哪里出现，有没有规律？
雅
小雅
有，而且是必背结论。从图解法直观地看：当线性规划问题的可行域非空时，它是有界或无界凸多边形；若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到；若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。
明
阿明
「一定在顶点」——所以实际上只要挨个试顶点就行。那为什么还要单纯形法？
雅
小雅
因为图解法有天花板。原文说得很直接：图解法虽然直观，但当变量数多于三个以上时它就无能为力了，这时需要使用单纯形法。单纯形法的基本思路是：根据问题的标准，从可行域中某个可行解也就是一个顶点开始，转换到另一个可行解也就是另一个顶点，并且使目标函数达到最大值时，问题就得到了最优解。
明
阿明
所以单纯形法本质上就是在顶点之间跳。它的求解过程要背吗？
雅
小雅
不用，原文明确说限于篇幅不再介绍详细求解过程——考试也只考它的思路和适用场景。反倒是「适用性」这段有细节题。线性规划模型用在原材料单一、生产过程稳定不变、分解型生产类型的企业十分有效，例如石油化工厂；对于产品结构简单、工艺路线短，或者零件加工企业，有较大的应用价值。
明
阿明
有没有反例？就是不适合用的场合。
雅
小雅
有，这句最爱考：对于机电类企业，线性规划模型只适用于作年度的总生产计划，而不宜用来作月度计划；原因是这主要与工件在设备上的排序有关，计划期太短很难安排过来。所以看到「机电类企业用线性规划做月度计划」，直接判错。
明
阿明
年度可以、月度不行。那建模有前提条件吗？
雅
小雅
有三条，一个经济管理问题符合以下条件时才能建立线性规划模型：第一，要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；第二，存在着多种方案；第三，要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式描述。三条缺一不可。
明
阿明
目标可量化且线性、有多种方案、约束能用线性式表达。线性规划这块齐了，网络优化是接着关键路径讲的？
雅
小雅
本集必背：线性规划的模型四条缺一不可，含非负条件；可行解是满足全部约束的解，可行域是可行解的集合；最优解一定在可行域顶点取得，两个顶点同时最优则连线上任意一点都最优；无界解源于缺乏必要的约束条件，无可行解源于矛盾的约束条件——缺约束得无界、约束打架得无可行解。
雅
小雅
再加三条：图解法在变量多于三个时无能为力，改用单纯形法，它从可行域的一个顶点转换到另一个顶点；线性规划适用于原材料单一、生产过程稳定不变的分解型企业如石油化工厂，机电类企业只适用于年度总生产计划、不宜做月度计划；建模三条件是目标函数能数值化且为线性函数、存在多种方案、约束可用线性等式或不等式描述。
明
阿明
留个应试提醒：题目若问「最优解可能在哪取得」，选项常有可行域内部点、边界中点、顶点、原点——只有顶点对；两张等值线卡住两个顶点时，别犹豫，连线段上都是最优解。
明
阿明
等值线斜率负三分之二、最优解 Q2 是(4,2)、z 等于 14，这几个数我记住了。
雅
小雅
下一集讲决策论和数学建模——不确定型决策的五种准则各自怎么挑方案、决策树每个节点的期望值怎么一步步算出来，还有建模的七个步骤。